高三数学模拟试卷（含答案）
第一部分 选择题
1. 已知函数$f(x)=3x^2+bx+c$的图像过点$(1,4)$和$(2,5)$，则$f(x)$的零点是（ ）
A. $-4,-1/3$ B. $-4,1/3$ C. $4,-1/3$ D. $4,1/3$
2. 若$a^2+b^2=10$，则$\\sqrt{\\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\\sqrt{\\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=$（ ）
A. $\\sqrt{10}$ B. $2\\sqrt{2}$ C. $2\\sqrt{5}$ D. $2\\sqrt{10}$
3. 设函数$f(x)=3^x$，则$f(\\log_{3}x)$的值为（ ）
A. $x$ B. $3x$ C. $\\log_{3}x$ D. $3^x$
4. 已知四面体$ABCD$中，$\\angle BAC = \\angle CAD$，$AB=AC,AD=BD=a$，则$\\cos{\\angle ADB}$等于（ ）
A. $-\\dfrac{1}{3}$ B. $-\\dfrac{1}{2}$ C. $\\dfrac{1}{3}$ D. $\\dfrac{1}{2}$
答案和解析：
1. 利用已知条件列方程：$\\begin{cases}3+b+c=4 \\\\ 12+2b+c=5\\end{cases}$，解得$b=-\\dfrac{7}{3},c=\\dfrac{16}{3}$，因此$f(x)=3x^2-\\dfrac{7}{3}x+\\dfrac{16}{3}$，求得零点为$-\\dfrac{4}{3},\\dfrac{4}{3}$，故答案为选项C。
2. 由题目条件列出式子，$\\sqrt{\\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\\sqrt{\\dfrac{2ab}{a^2+b^2}}=\\sqrt{\\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2}}=\\sqrt{\\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}}=\\dfrac{a+b}{\\sqrt{a^2+b^2}}$。故答案为$\\dfrac{\\sqrt{10}}{2}$，选项A。
3. $f(\\log_{3}x)=3^{\\log_{3}(\\log_{3}x)}=x^{\\log_{3}3}=x$。故答案为选项A。
4. $\\because\\angle BAC=\\angle CAD$，$\\therefore BD$是$\\triangle ABC$的中线，又$\\because AB=AC$，$\\therefore BD\\perp AC$，设$AB=AC=b$，$AC=AD=c$，$DC=a$，由余弦定理得：
$BD=\\dfrac{\\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}=\\dfrac{\\sqrt{18-a^2}}{2}$
$\\cos{\\angle ADB}=\\dfrac{(AD)^2+(BD)^2-(AB)^2}{2\\cdot AD\\cdot BD}=\\dfrac{9+(9-a^2)}{3\\times\\dfrac{\\sqrt{18-a^2}}{2}}$
化简得$\\cos{\\angle ADB}=\\dfrac{2}{\\sqrt{18-a^2}}$，由于$AB=AC\\leqslant AD$，$\\therefore a^2\\leqslant 18$，$\\sqrt{18-a^2}\\geqslant 3$，故$\\cos{\\angle ADB}\\leqslant\\dfrac{2}{3}$，故答案为选项B。
第二部分 填空题
1. 设$f(x)=\\dfrac{x}{1-x}$，则$f(f(x))=$____________
2. 设$a,b\\in \\mathbb{R}$，且$a+b=6$，$ab=8$，则$(a-b)^2=$____________
3. 已知等差数列的前$n$项和为$S_n$，$a_1=1$，$a_n=2n-1$，则$S_6$为____________
4. 若$\\sin{(\\alpha+\\beta)}=2\\cos{\\alpha}\\cos{\\beta}$，且$\\alpha-\\beta$是$\\pi$的倍数，则$\\tan^2{\\alpha}+\\tan^2{\\beta}=$____________
答案和解析：
1. $f(f(x))=f\\left(\\dfrac{x}{1-x}\\right)=\\dfrac{\\dfrac{x}{1-x}}{1-\\dfrac{x}{1-x}}=\\dfrac{x}{1-2x}$。
2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab=20$。
3. $a_n=a_1+(n-1)d=2n-1$，解得$d=2$，$a_6=11$，$S_6=\\dfrac{6}{2}\\times(2+11)=48$。
4. 将$\\sin{(\\alpha+\\beta)}$用三角恒等式展开，得$\\sin{\\alpha}\\cos{\\beta}+\\cos{\\alpha}\\sin{\\beta}=2\\cos{\\alpha}\\cos{\\beta}$，整理得$\\tan{\\alpha}\\tan{\\beta}=\\dfrac{1}{2}$。$\\because\\alpha-\\beta$是$\\pi$的倍数，$\\therefore\\tan{(\\alpha-\\beta)}=0$，即$\\alpha-\\beta=k\\pi$，其中$k\\in \\mathbb{Z}$，设$\\tan{\\alpha}=m,\\tan{\\beta}=n$，则有：
$\\begin{cases}\\dfrac{m-n}{1+mn}=0\\\\ m^2+n^2-2mn=2\\end{cases}$
解得$m=n=1$或$m=n=-1$，故$\\tan^2{\\alpha}+\\tan^2{\\beta}=2$。
第三部分 计算题
1. 已知等差数列$f_n$的前$n$项和$S_n=\\dfrac{(3n-1)n}{2}$，则$f_n=$____________
2. 解不等式：$\\dfrac{x+1}{x-2}-\\dfrac{x-5}{x+3}>0$
3. 用$\\sqrt{2},1$和$\\sqrt{3}$的线性组合表示$\\sqrt{6}$
4. 已知$\\triangle ABC$中，$AB=8,BC=10,CA=6$，点$P$在$AB$上，$Q$在$BC$上，且$\\angle APQ=90^{\\circ}$，求$\\dfrac{PQ}{AC}$的值。
答案和解析：
1. $S_n=\\dfrac{(2a_1+(n-1)d)n}{2}=\\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$，其中$d$为公差，$a_1$为首项，$a_n$为第$n$项，解得$a_1=1,d=2$，$a_n=2n-1$，故$f_n=S_n-S_{n-1}=2n-1$。
2. 由题得不等式化为$\\dfrac{6x-17}{(x-2)(x+3)}>0$，要求分母两个因式的正负情况，显然有$x>2,-3
3. 由题意可得$\\sqrt{6}=a\\sqrt{2}+b+c\\sqrt{3}$，将两边的式子平方，得$6=a^2+2b^2+3c^2+2ab+2ac\\sqrt{6}+2bc\\sqrt{2}$，将未知数$a,b,c$分开来看，有：
$\\begin{cases}a^2+2b^2+3c^2=6 \\\\ 2ab=0 \\\\ 2ac\\sqrt{6}=0 \\\\ 2bc\\sqrt{2}=0\\end{cases}$
解得$a=\\sqrt{2},b=0,c=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$，故$\\sqrt{6}=\\sqrt{2}+\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\sqrt{3}$。
4. 连接$AQ$交$PC$于点$O$，设$AQ=x,PQ=y$，由相似三角形可知$\\triangle POQ\\sim\\triangle ABC$，设$\\dfrac{PQ}{AC}=k$，则有：
$\\dfrac{x}{6}=\\dfrac{y}{k\\times 6} \\Longrightarrow x=\\dfrac{y}{k}$
$\\dfrac{x}{8+y}=\\dfrac{y}{10-x} \\Longrightarrow 10x+xy=8x+8y$
解得$k=\\dfrac{y}{6}=\\dfrac{\\sqrt{221}}{15}$。
本套试卷到此结束，希望同学们认真复习，学有所成！
