线性代数与空间解析几何-练习题答案分析

一、向量

1. 向量的基本概念

向量是一种有大小和方向的量，也可以看作是有序实数组成的有限序列，常用符号为向量小写字母。

2. 向量的线性运算

向量加法和数乘是向量的基本运算，满足以下性质：
1）加法满足交换律和结合律；
2）数乘满足结合律、分配律和数乘1等于不变量。

3. 向量的线性相关与线性无关

若存在不全为0的实数 $k_1,k_2,...,k_n$ ，使得向量 $k_1 \\boldsymbol{a_1}+k_2 \\boldsymbol{a_2}+...+k_n \\boldsymbol{a_n} = \\boldsymbol{0}$，则称向量组 $\\boldsymbol{a_1},\\boldsymbol{a_2},...,\\boldsymbol{a_n}$ 线性相关，否则线性无关。

二、矩阵

1. 矩阵的基本概念

矩阵是按矩形排列的数的集合，用$\\boldsymbol{A}$表示，其中每一个数称为元素，通常用小写字母表示矩阵的元素。

2. 矩阵的运算

矩阵加法、数乘、乘法是矩阵的基本运算，其中矩阵乘法需要满足以下条件：
1）若矩阵 $\\boldsymbol{A}$ 是 $m\\times n$ 的矩阵，矩阵 $\\boldsymbol{B}$ 是 $n\\times p$ 的矩阵，则 $\\boldsymbol{C}=\\boldsymbol{AB}$ 是 $m\\times p$ 的矩阵；
2）矩阵乘法满足结合律和分配律；
3）一般不满足交换律。

3. 矩阵的转置、逆和秩

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换所得到的矩阵，用符号 $\\boldsymbol{A^T}$ 表示。
矩阵的逆是指能使矩阵乘以逆矩阵得到单位矩阵的矩阵，用符号 $\\boldsymbol{A^{-1}}$ 表示。
矩阵的秩是指矩阵中不为0的行向量或列向量的极大线性无关组所含向量的个数，用符号 $r(A)$ 表示。